为了计算欧式看涨期权的价格应该是多少Monday, June 10, 2024布莱克-斯科尔斯模子是一种模仿金融衍生用具商场动态的数学模子。自1973年提出并于70年代和80年代加以完竣此后，该模子已成为估算股票期权价钱的程序。该模子背后的要害思念是，通过以确切的格式交易根基资产(如股票)来对冲投资组合中的期权，从而湮灭危机。这种形式其后正在金融界被称为“不时修订的三角洲对冲”，并被天下上很众最要紧的投资银行和对冲基金采用。
布莱克-斯科尔斯模子是一种模仿金融商场动态的数学模子，个中包括了期权、期货、远期合约和交流合约等衍生金融用具。该模子的要害性子正在于，它证据了一个期权，无论其标的证券的危机和预期收益怎样，其价钱都是独一的。该模子确立正在偏微分方程的根基上，即所谓的布莱克-斯科尔斯方程，从中可能推导出布莱克-斯科尔斯公式，该从表面上对欧洲股票期权的确切价钱举办了臆想。
最初的布莱克-斯科尔斯模子基于一个重点假设，即商场由起码一种危机资产(如股票)和一种(素质上)无危机资产(如钱币商场基金、现金或政府债券)构成。其它，它假定了两种资产的三种属性，以及商场自身的四种属性：
对商场资产的假设为：1：无危机资产的收益率是恒定的(于是实质上显露为利率)；2：凭据几何布朗运动，假定危机资产价钱的瞬时对数收益显露为具有恒定漂移和摇动的无尽小随机逛动；3：危机资产不支拨股息。
对商场自身的假设是：1：不生存套利(无危机利润)机遇；2：可能以与无危机资产利率沟通的利率借入和借出任何数目的现金；3：可能交易任何数目的股票(席卷卖空)；4：商场上没有生意本钱(即没有交易证券或衍生用具的佣金)。
正在对原有模子的后续扩展中，对这些假设举办了改良，以符合无危机资产的动态利率、交易生意本钱和危机资产的股息支付。正在本文中，假设咱们行使的是原始模子，除非另有声明。
布莱克-斯科尔斯方程是凭据布莱克-斯科尔斯模子的动力学道理，正在金融商场中操纵欧洲股票期权价钱演变的偏微分方程(PDE)。方程是：
个中V是期权的价钱（行动两个变量的函数：股票价钱S和光阴t），r是无危机利率（以为利率相像于从钱币商场基金取得的利率） ，而σ是根基证券的对数收益率的摇动性。要是咱们把方程改写成下面的景象
然后左侧呈现期权V的价钱随光阴t的扩充而变革+期权价格相对付股票价钱的凸度。右边是由V/S构成的期权众头和空头的无危机回报。
布莱克-斯科尔斯公式是布莱克-斯科尔斯偏微分方程的一个解，给出了下面的边境条款(方程. 4和5)，它谋划了欧洲看跌期权和看涨期权的价钱。也即是说，它谋划的是正在将来预订日期以预订价钱添置或出售某些根基资产的权力的合同价钱。正在到期日(T)，欧式看涨期权(C)和看跌期权(P)的价格不同为：
布莱克和斯科尔斯证实，对付欧式看涨期权，正在eq. 4和5给出的边境条款下，布莱克-斯科尔斯方程(上面的eq. 1)解析解的泛函景象为：
公式中涉及的要素为S =证券价钱，T =到期日，t =眼前日期，X =行使价，r =无危机利率和σ=摇动率（根基资产的程序差）。函数N（·）代外正态（高斯）散布的累积散布函数，可能以为是“随机变量小于或等于正态散布的输入（即d 1和d 2）的概率”。行动概率，值N（·）的总和将永远正在0≤N（·）≤1之间。输入d1和d2由下式给出：
对付欧洲看跌期权(正在将来预订日期以预先确定的价钱出售某些根基资产的权力而非责任的合约)，其等价的效力景象为：
为了谋划欧式看涨期权的价钱该当是众少，咱们真切咱们需求上述方程6所条件的5个值。它们是：1.股票确当前价钱，2.看涨期权的实践价钱(X)， 3.截止光阴(T - t)， 4.无危机利率(r)和5.股票的摇动,由史籍日记返回的程序缺点(σ)。
臆想特斯拉看涨期权的价格，咱们需求的前四个值很容易取得。假设咱们对特斯拉股票($TSLA)的看涨期权感有趣，该股票将于2019年第三季度收益到期，其价钱将比眼前股价超过20%。查看2019年7月13日正在雅虎财经上特斯拉的纳斯达克上市($TSLA)，咱们涌现其股价为S = $245。将眼前价钱乘以1.2取得的实践价钱比眼前生意的股票超过20%，X = 294美元。谷歌一下，咱们涌现其第三季度财报电线天。行动无危机利率用具的主体，咱们将行使美邦10年期政府债券，目前的收益率为2.12%。咱们取得S = 245 X = 294 T - t = 101， r = 0.0212。独一短少的值是对股票摇动率（σ）的臆想。
咱们可能通过瞻仰股票的史籍价钱来臆想任何股票的摇动率，或者，更纯粹地，通过谋划沟通股票正在差异限日/到期日(T)和实践/实践价钱(X)的其他期权价钱来臆想（要是咱们真切它们是凭据布莱克-斯科尔斯模子成立的）。结果值σ是介于0和1之间的数字，呈现商场对股票的隐含摇动率。
纵然会意期权发行者是怎样取得看涨期权和看跌期权的价钱是一件意思的事宜，但行动投资者，很难“反对许”这些价钱自身，并且很难将这些学问转化为可操作的投资表面。
然则，要是咱们将期权的价钱视为已知的独立变量，则可能从布莱克-斯科尔斯公式中取得良众好处。这是由于，布莱克-斯科尔斯方程将成为一种用具，可能援手咱们会意商场怎样臆想股票的摇动率，也称为期权的隐含摇动率。这是咱们可能反对许睹并举办生意的讯息。
因为美邦期权可能正在到期日之前的任何日期实践，于是比管理欧洲期权要困困难众。最先，因为最优实践战术会影响期权的价格，于是正在求解布莱克-斯科尔斯偏微分方程时需求研讨这一点。凭据布莱克-斯科尔斯方程，美邦期权没有已知的“闭闭景象”解。不外，也有极少奇特情状：
对付不支拨股息的根基资产的美邦看涨期权，美邦看涨期权的价钱与欧洲看涨期权沟通。这是由于正在这种情状下，最优的行使战术是不成使期权。
对付正在其人命周期内确实支拨一项已知股息的根基资产的美邦看涨期权，尽早行使该期权恐怕是最优拣选。正在这种情状下，凭据所谓的Roll- geske - whaley形式：
S =股票价钱，X =行使价钱，D=支拨的股息，t =眼前日期，t=支拨股息的日期，T =期权的到期日。
C（·）长短股息支拨欧洲股票期权（eq x）的常例布莱克-斯科尔斯公式，则美邦看涨期权的价格由沟通方程式给出，个中股票价钱（ S）为：
要是满意了不等式，那么早期的操作即是最优的，美邦看涨期权的价格是由下面这个倒霉而又芜杂的方程给出的(我试着把它按每一项离开，以使其更具可读性)：
S =股票价钱，T =期权到期日，X =行使价钱，r =无危机利率，σ=摇动率（股票史籍收益的对数的程序缺点），D =是股息支付。其它，ρ由下式给出：
无须置疑，研讨到上述假设以及咱们我方对无危机利率（r）的数值臆想的固有范围性，布莱克-斯科尔斯模子正好是一种试图臆想商场举止的表面模子。这里该当夸大的是，并不是一切的假设（特别是原始模子）实质上都是凭体会有用的。比方，显然的范围来自于：
正在任何和一切的投资战术中，都该当研讨到这些要素，比方，不同用套现期权举办对冲、正在众个生意所举办生意、用摇动率对冲和对冲举办对冲。
1973年，费希尔布莱克和迈伦斯科尔斯指出，凭据某些法规对投资组合举办动态改良，可能湮灭根基证券的预期回报。他们的模子是确立正在巴切利耶、萨缪尔森等人之前确立的著作之上的。罗伯特·默顿是第一个发外对模子剖释的论文的人，他制作了术语“布莱克-斯科尔斯期权订价模子”。斯科尔斯和默顿因涌现了将股票期权与闭联证券的危机分散的形式而取得1997年诺贝尔经济学奖。1995年，费希尔·布莱克亡故，他没有资历取得诺贝尔奖，但被诺贝尔委员会确以为一名进献者。
